Como dois pontos P e P1 , bem próximos, pertencentes a uma curva, podem ser unidos por uma reta, depreende-se que, de todas as retas que passam pelo ponto P(Xo , Yo ), a que melhor se aproxima do gráfico de Y = f(x) para valores de x, próximos de Xo , é a reta tangente à curva nesse ponto P.
A variação observada nesta função, no ponto P, pode ser associada à taxa de variação da função y = ax + b (reta tangente ao ponto) que melhor se aproxima da função no ponto P (Xo ,Yo ).
Determinação da tangente a uma curva em um de seus pontos.
Considere-se: O gráfico da função y = f(x) dado por uma curva.
A reta s, secante a f(x), unindo os pontos A (Xo ,Yo ) e B (x,y).
A reta t, tangente a f(x) no ponto A (Xo ,Yo ).
O ângulo a formado por t e AC (X-Xo).
O ângulo b formado por s e AC (X-Xo).
O triângulo ABC.
Tem-se, então que:
(X - Xo) = incremento da variável x
(Y - Yo) = incremento da função
O quociente: (X - Xo)/(Y - Yo)= razão incremental
Note-se que, quando X tende a zero, b tende a a e a reta s tende à posição limite, t .
Conseqüentemente, o ângulo a tenderá a b .
Tem-se, então que: o coeficiente angular da tangente t é o valor do limite do coeficiente angular da secante s quando x tende a zero.
Logo:
Obs.: (X - Xo) pode ser denotado pela letra h , como a seguir, onde
f’(x ) é dada por:
Esse limite, se existir e for finito, é a derivada de f(x) no ponto Xo e denota-se por:
f’(X)
y'
dx/dy
Geometricamente, a derivada de uma função y = f(x) num ponto X = Xo , do seu campo de definição, é numericamente igual ao coeficiente angular da reta tangente a essa curva , no ponto Xo,
