MDC(a , b)

Este conteúdo é utilíssimo. Bom estudo!
Prof. simões

Algoritmo estendido de Euclides MDC(a,b)


Aplica-se o Algoritmo de Euclides como uma das maneiras de calcular
o M.D.C. entre dois números inteiros a e b.
O MDC(a,b) = d resulta da combinação linear de a e b, sendo,
a combinação linear, de grande utilidade se a e b são primos entre si.
Exemplo: Calcular o MDC(120,23)





Nota-se que: 120 e 23 são primos entre si pois o único divisor comum = 1 .

MDC(120,23), usando o Algoritmo estendido de Euclides:

Segue-se que:
120 = 5 . 23 + 5 ...... onde: 5 = 1 . 120 - 5. 23
23 = 4 . 5 + 3 ...... 3 = 1 . 23 - 4 . 5
5 = 1. 3 +2 ...... 2 = 1 . 5 - 3
3 = 1. 2 +1 ....... 1 = 1 . 3 - 2
2 = 2. 1 + 0
MDC(120,23) = d = 1

Logo, deve-se procurar escrever, 1 como combinação linear de 120 e 23, ou seja:
a .120 + b . 23, procurando-se identificar, então, a e b , como se segue.

5 = 1 .120 – 5 . 23

3 = 1. 23 – 4 . 5 ................ e, como 5 = 1 . 120 – 5 . 23
3 = 1. 23 - 4(1 .120 – 5 . 23)
3 = -4 .120 + 21.23

2 = 1 .5 – 1 . 3 ................. como 5 = 1 .120 – 5 . 23 e
3 = -4 .120 + 21 . 23
2 = 1(1 . 120 – 5 . 23) - 1(-4 .120 + 21 . 23)
2 = 5 .120 – 26 . 23

1 = 1 . 3 – 1 . 2
1 = 1(-4 .120 + 21 . 23) - 1(5 .120 – 26 . 23)
1 = -9 .120 + 47 . 23
Como: ax + by = MDC(a, b), ou seja: a = -9 e b = 47

Temos, então, que: –9 .120 + 47 . 23 = 1 = d = MDC(120,23)

Taxa de Variação Média

Este conteúdo é realmente muito útil aos que se preparam para concursos.

Derivadas

A derivada pode ser comparada à taxa de variação em um ponto determinado, de uma função y=f(x) contínua.
Como dois pontos P e P1 , bem próximos, pertencentes a uma curva, podem ser unidos por uma reta, depreende-se que, de todas as retas que passam pelo ponto P(Xo , Yo ), a que melhor se aproxima do gráfico de Y = f(x) para valores de x, próximos de Xo , é a reta tangente à curva nesse ponto P.
A variação observada nesta função, no ponto P, pode ser associada à taxa de variação da função y = ax + b (reta tangente ao ponto) que melhor se aproxima da função no ponto P (Xo ,Yo ).













Determinação da tangente a uma curva em um de seus pontos.













Considere-se: O gráfico da função y = f(x) dado por uma curva.
A reta s, secante a f(x), unindo os pontos A (Xo ,Yo ) e B (x,y).
A reta t, tangente a f(x) no ponto A (Xo ,Yo ).
O ângulo a formado por t e AC (X-Xo).
O ângulo b formado por s e AC (X-Xo).
O triângulo ABC.
Tem-se, então que:
(X - Xo) = incremento da variável x
(Y - Yo) = incremento da função
O quociente: (X - Xo)/(Y - Yo)= razão incremental
Note-se que, quando X tende a zero, b tende a a e a reta s tende à posição limite, t .
Conseqüentemente, o ângulo a tenderá a b .
Tem-se, então que: o coeficiente angular da tangente t é o valor do limite do coeficiente angular da secante s quando x tende a zero.
Logo:









Obs.: (X - Xo) pode ser denotado pela letra h , como a seguir, onde
f’(x ) é dada por:





Esse limite, se existir e for finito, é a derivada de f(x) no ponto Xo e denota-se por:
f’(X)
y'
dx/dy

Geometricamente, a derivada de uma função y = f(x) num ponto X = Xo , do seu campo de definição, é numericamente igual ao coeficiente angular da reta tangente a essa curva , no ponto Xo,